Aproximación del pequeño ángulo

La aproximación del pequeño ángulo es una simplificación útil de las funciones trigonométricas básicas que es verdad aproximadamente en el límite donde el ángulo se acerca al cero. Son truncamientos de la serie de Taylor para las funciones trigonométricas básicas a una aproximación del segundo pedido. Este truncamiento da:

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donde θ es el ángulo en radians.

La pequeña aproximación del ángulo es útil en muchas áreas de la física, incluso mecánica, electromagnetics, óptica (donde forma la base de la aproximación paraxial), la cartografía, la astronomía, etcétera.

Justificaciones

Gráfico

La exactitud de las aproximaciones se puede ver abajo en la Figura 1 y la Figura 2. Como el ángulo se acerca al cero, está claro que el hueco entre la aproximación y la función original rápidamente desaparece.

File:Small_angle_compair_odd.svg| Una comparación de las funciones trigonométricas raras básicas a θ. Se ve que ya que el ángulo se acerca 0 las aproximaciones se hacen mejores.

File:Small_angle_compare_even.svg| Una comparación de porque (θ) a 1 - θ/2. Se ve que ya que el ángulo se acerca 0 la aproximación se hace mejor.

Geométrico

La sección roja a la derecha, d, es la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa, H, y el lado contiguo, A. Como se muestra, H y A son casi la misma longitud, significando porque θ está cerca de 1 y ayuda a recortar el rojo lejos.

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La pierna de enfrente, O, es aproximadamente igual a la longitud del arco azul, s. Los hechos crecientes de la geometría, s = A*θ, de la trigonometría, pecado θ = O/H y bronceado θ = O/A, y del cuadro, y llevan:

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