Centro (teoría del grupo)

En el álgebra abstracta, el centro de un grupo G, Z denotado (G), es el juego de elementos que viajan a diario con cada elemento de G. En nota del constructor del juego,

:.

El centro es un subgrupo de G, que por definición es abelian (que es conmutativo). Como un subgrupo, siempre es normal, y en efecto característico, pero no tiene que ser totalmente característico. El grupo del cociente G / Z (G) es isomorphic al grupo de automorphisms interior de G.

Un grupo G es abelian si y sólo si Z (G) = G. En el otro extremo, se dice que un grupo es centerless si Z (G) es trivial, es decir sólo consiste en el elemento de identidad.

Los elementos del centro a veces se llaman centrales.

Como un subgrupo

El centro de G siempre es un subgrupo de G. En particular:

  1. Z (el G) contiene e, el elemento de identidad de G, porque eg = g = ge para todo g ∈ G por definición de e, así por definición de Z (G), eZ (G);
  2. Si x y y están en Z (G), entonces (xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy) para cada gG, y por tanto xy está en Z (G) también (es decir, Z (G) cierre de objetos expuestos);
  3. Si x está en Z (G), entonces gx = xg, y multiplicándose dos veces, una vez a la izquierda y una vez a la derecha, por x, da xg = gx — tan xZ (G).

Además el centro de G siempre es un subgrupo normal de G, ya que se cierra bajo la conjugación.

Conjugación

Considere el mapa f: G → Aut (G) de G al grupo automorphism de G definido por f (g) = ϕ, donde ϕ es el automorphism de G definido por

:.

La función f es un grupo homomorphism, y su grano es exactamente el centro de G, y su imagen se llama el grupo automorphism interior de G, Posada denotada (G). Por el primer teorema de isomorfismo conseguimos

:

El cokernel de este mapa es el grupo de automorphisms externo, y éstos forman la secuencia exacta

:

Ejemplos

1 & 0 & z \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1 \\

\end {pmatrix} </matemáticas>

Centros más altos

Quotienting por el centro de un grupo cede una secuencia de grupos llamó la serie central superior:

:

El grano del mapa es el centro de ith' de G (segundo centro, tercer centro, etc.), y se denota Concretamente, el - el centro de S. es los términos que viajan a diario con todos los elementos hasta un elemento del centro de ith. Después de esta definición, uno puede definir el centro 0th de un grupo para ser el subgrupo de identidad. Esto puede ser seguido a ordinales transfinite por la inducción transfinite; llaman la unión de todos los centros más altos el hipercentro.

La cadena que sube de subgrupos

:

se estabiliza en (equivalentemente), si y sólo si es centerless.

Ejemplos

Notas

Véase también



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